Некоторые вопросы теории приближений

Автор(ы)

Тихомиров В.М

Год

1976

Язык

rus

Теги

Математика

Аннотация

Некоторые вопросы теории приближений Год выпуска : 1976 Автор : Тихомиров В.М. Жанр : Математический анализ Издательство : Московского университета УДК 517.2.517.51.519.3 Язык: Русский Формат : DjVu Качество : Отсканированные страницы Количество страниц : 305 Описание : Монография посвящена геометрическим и экстремальным задачам теории приближений, хотя в ней затронуты и основные темы классической теории аппроксимации. Изучаются приближения индивидуальных элементов элементами фиксированного множества, двойственные методы, полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля, неравенства для производных полиномов и гладких функций. Излагаются классические методы аппроксимации классов функций: методы Фурье, Фейера, методы аппроксимации положительными полиномиальными операторами и произвольными линейными полиномиальными операторами. Наибольшее внимание в книге уделено сравнительно новой и интенсивно разрабатываемой сейчас теме в теории приближений — нахождению поперечников функциональных классов, т. е. наилучших методов приближения, интерполирования и задания функций из функциональных классов. Во многих важных случаях дается точное решение задачи о нахождении поперечников классов гладких, аналитических и гармонических функций. Проводится сравнение наилучших и классических методов приближения. Введение Теория приближений — это ветвь математического анализа, призванная исследовать способы преобразования в конечную той бесконечной информации, которая заложена в понятие функции. Как самостоятельная часть математики она ведет начало с мемуара П. Л. Чебышева 1854 г., хотя отдельные вопросы, касающиеся приближения функций, рассматривались ранее Эйлером, Гауссом, Лежандром, Понселе и другими математиками XVIII и XIX вв. На первом этапе развития теории изучались приближения конкретных функций при помощи фиксированного аппроксимирующего множества, как правило, при помощи полиномов или рациональных дробей. В 1885 г. Вейерштрасс доказал, что каждая непрерывная функция на отрезке может быть с любой степенью точности приближена полиномами. Этот результат натолкнул на мысль искать связи между свойствами функций и скоростью приближения ее полиномами. Функции с одинаковой скоростью приближения образуют некоторый функциональный класс. Постепенно оформилось второе направление исследований, в которых изучались приближения не отдельных функций, а целых функциональных классов. Из этих двух направлений и образовалась та математическая дисциплина, которую называют классической теорией приближений. В классической теории приближений аппроксимация осуществлялась обычно алгебраическими или тригонометрическими полиномами, а также рациональными дробями. В середине- пятидесятых годов под влиянием А. Н.. Колмогорова получила распространение новая точка зрения на задачи теории аппроксимации. Стимулом для ее распространения явились, с одной стороны, потребности вычислительной математики, а с другой — получившие в то время широкую популярность шенноновские идеи об информации. Классическая т