Математический анализ (ч. 2)
- Автор(ы)
- Франклин Ф
- Год
- 1950
Аннотация
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ Вопрос о сходимости бесконечного ряда можно рассматривать как частный случай вопроса о стремлении к пределу переменной величины, принимающей дискретную бесконечную последовательность значений. Поэтому многие теоремы относительно бесконечных рядов являются непосредственными. след-, ствиями теорем о пределах, изложенных во второй главе. Изучение бесконечных рядов не было предпринято нами ранее только потому, что изложение некоторых положений о сходимости рядов упрощается, если пользоваться понятием интеграла. После изложения признаков сходимости бесконечных рядов с действительными или комплексными членами мы в этой, главе определим понятие бесконечного произведения и докажем некоторые, относящиеся к этому понятию теоремы, 185. Бесконечные ряды. Сходимость. Пусть некоторая последовательность действительных или комплексных чисел. Тогда выражение оо Щ + и2 + и8+ ... или 2 ип> (1) иногда записываемое сокращенно в виде ]►] ип> называется бесконечным рядом. Общий член этого ряда ип является функцией аргумента и, принимающего целые положительные значения. Сумма η членов, или /г-я частичная сумма, определяется равенством η sn= Σ в* = и, + и2 + . ·' + стп. (2) Заметим, что в этой конечной сумме к является немым индексом, согласно определению из § 127. Ряд называется сходящимся, если при п, стремящемся к бесконечности, sn стремится к конечному пределу s, т. е. s^limsn. (3) л-» со В этом случае мы называем число s суммой ряда или говорим, что ряд сходится к s, и пишем оо 71 = 1 6 ГЛАВА IX. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ Рядом с действительными членами называется ряд, все члены которого являются действительными числами. Рядом с комплексными членами называется ряд, все члены которого являются комплексными числами: un = aR + ibn. (5) Такой ряд имеет частичные суммы вида η η sn= Σ ak + i Σ h- (6) Поэтому, вследствие результатов § 99, ряд этот будет сходиться тогда и только тогда, когда сходятся два ряда с действительными члена
Как сослаться (ГОСТ Р 7.0.5-2008)
- В списке литературы
- Франклин Ф. Математический анализ (ч. 2). — 1950.
- В тексте
- (Франклин Ф. Математический анализ (ч. 2). 1950)