Лекции по дифференциальной геометрии и топологии. Тензорный анализ на многообразиях

Автор(ы)

Иванов А.О, Тужилин А.А

Год

2004

Язык

rus

Теги

Математика

Аннотация

Лекции по дифференциальной геометрии и топологии. Тензорный анализ на многообразиях Год : 2004 Автор : Иванов А.О., Тужилин А.А. Издательство : Наука ISBN : не указан Язык : Русский Формат : PDF Качество : Отсканированные страницы Количество страниц : 146 Описание : В любой конкретной задаче, в коночном итоге, требуется определить поведение каких-нибудь числовых характеристик изучаемой системы. В простейшем случае эти числовые характеристики представляют собой функции, в более сложных они организуются в более сложные образования. Например, координаты точки в евклидовом пространстве Еп образуют вектор. Однако, чтобы производить реальные вычисления, нужно сначала фиксировать какие-нибудь координаты на конфигурационном пространстве рассматриваемой системы, скажем фиксировать базис в R". Но, как только появляются координаты, так сразу требуется выяснить как преобразуются наши числовые данные при замене координат. В простейшем случае случае функции, значение функции в точке конфигурационного пространства не зависит от системы координат. Однако в случае вектора в линейном пространстве Кп это уже не так: координаты вектора при линейной замене координат преобразуются с помощью матрицы перехода этой замены. В данной главе мы изучим естественное обобщение понятия вектор понятие тензоров. Тензоры, говоря неформально, это числовые данные, заданные в линейном пространстве и меняющиеся при замене координат в линейном пространстве наиболее простым полилинейным образом. Возможно, понятие тензора уже было введено в курсе линейной алгебры. В дифференциальной геометрии в качестве конфигурационного пространства выступают, конечно же гладкие многообразия. В каждой точке гладкого многообразия имеется естественно определенное линейное пространство касательное пространство к многообразию в данной точке. Поэтому в каждой точке многообразия можно задать тензор. Обычно в дифференциальной геометрии рассматривают не просто тензоры в касательном пространстве, а тензорные поля, т.е. тензоры в касательных пространствах, гладко зависящие от точки многообразия. Однако, имея это в виду, мы начнем эту главу с напоминания того, что такое тензоры в одном линейном пространстве, которое, отождествляется с касательным пространством к многообразию. Мы начнем с простейших примеров тензоров, которые нам уже встречались. Примеры страниц Оглавление 1 Простейшие примеры тензоров 3 1.1 Касательный вектор................................................4 1.2 Дифференциал функции — ковектор..............................4 1.3 Линейный оператор..................................................G 1.4 Билинейная форма ..................................................8 2 Общее определение тензора 9 2.1 Координатное определение тензора................................9 2.2 Инвариантное определение тензора................................12 2.3 Линейное пространство тензоров..................................15 2.4 Алгебраические операции над тензорами........................17 2.4.